物理-量子隧穿概率公式分析（指数函数单调性与控制变量比较）
考点：科学推理 / 物理-量子隧穿概率公式分析（指数函数单调性与控制变量比较）
问法模型：给出物理公式并让比较单一变量不同时的结果大小 → 控制变量法＋分析公式单调关系
推理链
- 第1步：题干给出隧穿概率P的近似公式，式中比例项为e的负指数形式，指数中包含势垒宽度d，其余量为电子质量m、约化普朗克常数h、势垒高度、电子能量E
- 第2步：官方解析指出比例符号表示成正比关系，而e
- 第3步：甲、乙、丙三个势垒高度相同，且打向三个势垒的电子能量E相同、m与h为常数，即负指数中除d外的所有量均不变
- 第4步：唯一变量是宽度——甲为d、乙为2d、丙为4d，d越小，负指数的绝对值越小，概率P越大
- 第5步：甲势垒宽度d最小，故其隧穿概率最大，对应选项A
最快解法：⚡ 控制变量法＋单调性口诀：m、E、h、势垒高度全部相同，唯一变量是宽度d；公式为负指数形式，宽度越小指数绝对值越小、概率越大，直接选宽度最小的甲势垒（A）
易错点
- ⚠ 忽略负指数中的负号，误把P当成随d增大而增大，错选丙
- ⚠ 看到三个势垒高度相同就误认为概率相同而选D，忽略宽度d在指数中的决定作用
- ⚠ 被’量子力学’情境吓住，不敢用初等数学的单调性快速判断
母题抽象
🧩 当题干给出含比例符号（∝）和负指数（或反比）关系的物理公式并只改变一个变量时，先确认其余量相同，再按函数单调性判断：使指数绝对值越小（或分母越小）的取值对应结果越大
同类特征：物理公式含∝比例符号、e的负指数项、控制变量：仅势垒宽度d取d、2d、4d、问’概率最大’的极值比较、量子力学情境＋数学单调性判断
相关题
（暂无）
题干
量子隧穿是量子力学中的一种奇特现象，指粒子可以穿透本应无法逾越的势垒。假设有一个势垒，其高度为
，宽度为d，一束能量为E的电子打向这个势垒。根据经典力学，只有当电子能量E大于势垒高度时，电子才能通过势垒。但根据量子力学，即使
，电子也有一定概率通过势垒，这就是量子隧穿效应。量子隧穿的概率P与势垒参数有关，近似公式为：
。其中，m为电子质量，h为约化普朗克常数。现有甲、乙、丙三个势垒，高度均为，宽度分别为d、2d、4d。如果一束能量为E（）的电子依次打向这三个势垒，电子隧穿概率最大的是：
选项
- A. 甲势垒 ✅
- B. 乙势垒
- C. 丙势垒
- D. 三个势垒隧穿概率相同
官方解析
在公式：中，“
”是一种数学符号，表示与某个量成正比关系，因此
的值越大，概率P就越大，函数
是减函数，y会随着x的增大而减小。
结合题干可知，m、、E、h均不变，即
不变，d越小，的值越大，概率P也就越大，甲、乙、丙三个势垒的宽度分别为d、2d、4d，甲势垒的宽度d最小，因此电子遂穿概率最大的是甲势垒。
故正确答案为A。
给定材料
（无）